یک مطلب از نظریه اعداد+یک سوال از نظریه اعداد

در این پست تصمیم دارم ابتدا یک قضیه به همراه اثبات آن را در اینجا قرار دهم و سپس یک سوال از حل معادلات و پس از آن جواب سوال قبل .امیدوارم که مفید واقع شود ! با تشکر از شما عزیزان    سهیل یزدانی

یک قضیه و اثبات آن  
فرض کنید p عددی اول و ثابت باشد و را عددی طبیعی در نظر بگیرید.بزرگترین عدد صحیح t که را با نشان می دهیم .می خواهیم ثابت کنیم که :

که در آن ، بزرگترین عدد صحیح نابیشتر از x می باشد که به آن جزء صحیح x گوییم.بدیهی است که تعداد جملات مخالف صفر در مجموع فوق متناهی است زیرا اگر  آنگاه
اثبات:
ابتدا ثابت میکنیم که اگر اعدادی طبیعی باشند آنگاه  زیرا فرض کنید :

در این صورت  ، از طرفی  و  
یعنی ، بنابراین  و در نتیجه  . از این رو حکم ثابت شد.
حال به اثبات رابطه داده شده می پردازیم .مضارب p که در حاصلضرب  ظاهر می شوند دقیقا عبارتند از:

بنابراین  عبارت است از تعداد دفعاتی که p به عنوان یک عامل در حاصلضرب این اعداد ظاهر می شود.پس داریم :

اگر در این رابطه  را به جای n قرار دهیم و از رابطه  استفاده کنیم خواهیم داشت:

در نتیجه

با ادامه این روند و با توجه به اینکه اگر آنگاه  ، خواهیم داشت:

و در اینجا حکم ثابت است.
حال برای درک بهتر مطلب یک مثال می آوریم :
مثال :بزرگترین توان ۳ در !۲۵۰ را بدست آورید.
حل :

 منتظر نظرات شما دوستان هستم.

سوال:
معادله  را در اعداد طبیعی حل کنید.

منتظر پاسخهای شما عزیزان هستم.

جواب سوال قبل

و اما جواب سوال از پست قبل...

حل: متغیر مختلط z را به صورت  تعریف می کنیم. حال معادلات را به فرم متعارف تر زیر می نویسیم:

معادله (2) را در عدد i ضرب کرده و با معادله (1) جمع می کنیم :

و یا معادلا

و یا

از طرفی می دانیم که  در نتیجه

بنابراین از (*) نتیجه می شود که

و یا

عبارت داخل پرانتز را برابر t تعریف می کنیم بنابراین

در نتیجه

بنابراین

از این رو دو دسته جواب زیر به دست می ایند :

و در اینجا حل مساله کامل است.

با نظرات خود ما را راهنمایی کنید .با تشکر

|+| نوشته شده در  چهارشنبه نهم اسفند 1385 ساعت 11:41  توسط سهیل یزدانی  |  11 نظر

---

یک سوال + یک جواب!!

سلام ، امیدوارم که همگی خوب و خوش و خرم و خوشحال باشید.
در این پست می خواهیم بدون مقدمه برویم سراغ سوال جدید و همچنین جواب سوال پست قبل .موفق باشید

سوال:

تمام های حقیقی را بیابید بطوریکه دستگاه زیر برقرار باشد:

منتظر جوابهای شما عزیزان هستم.با تشکر

واما جواب سوال از پست قبل :

 با توجه به مطلبی که از پست قبل بیان شد ، فرمول معروف و زیبای اویلر ()، چنین بیان می کنیم که:

از طرفی می دانیم :

در نتیجه

و در اینجا حل مساله کامل است.

نکته: لازم به توضیح می باشد که برای حل این مساله می توان از رابطه زیر نیز استفاده کرد

که در اینجا R شعاع دایره ای به مرکز مبدا می باشد و اگر آن را به بی نهایت میل دهیم

که از اینجا به بعد را می توان بنا بر رابطه فوق ادامه داد و به جواب رسید!!