ویژگیهای 13( آیا 13 نحس است؟)

عدد 13 از دوران قدیم ویژگی خاصی داشت ؛ نحس یا مقدس.ولی چیزی که در ریاضیات از این عدد می دانیم هیچ کدام از اینها نیست بلکه این عدد هم مثل بقیه اعداد فقط یک عدد است.ولی بعضی ها تحت تاثیر خرافات قرار گرفته اند و بعضی خواص ریاضی این عدد را پیدا کرده اند .به هر حال این خواص هیچ ربطی به نحس و مقدس بودن 13 ( البته به نظر من) ندارد.                                                           

آنچه در ادامه خواهید خواند جادوی   13 است که به نظر جالب می رسد !!!  

● 13 عدد اول است.     

● 1-13^۲  عدد اول مرسن است.

● 13جسم ارشمیدسی موجود است. (اجسام ارشمیدسی اجسامی هستند که وجوه آنها چند ضلعی بوده، نه لزوما از یک نوع ، و کنجهای آنها مساوی هستند.)

● عدد 13کوچکترین Emirp است. (Emirp  عدد اولی است که اگر ارقام آن را معکوس کنیم مجددا عددی اول خواهد بود مثلا اعداد 13، 17،31، 37،.....)

● 169=13^۲  بامعکوس کردن ارقام آن داریم:

961="2^31 یعنی رقم های آن مجددا معکوس می شود."

●2^13،  1+!12 را عاد می‌کند.

● 13عدد Happy است.(برای دانستن این که عددی Happy است، مجموع مربعات رقمهای عدد را پیدا کرده و دوباره مجموع مربعات عدد بدست آمده را حساب می‌کنیم با ادامه این روند اگر به عدد 1 دست پیدا کردیم آنگاه به آن عدد Happy گفته می‌شود. مثلا برای عدد سیزده  10="2^3+2^1 و 1=2^0+2^1 بنابراین13" عدد Happyاست.)

● 13نیمی از  3^3+ 3^1- است.  

●شاخه زیتونی که در پشت دلارهای آمریکا کشیده شده است 13 برگ دارد.

●2^13عدد !(1 -13)+ 1را عاد می‌کند بنابراین یک عدد اول ویلسون(Wilson Prime) است. ( هر عدد اول p که،p و p^2،  مقدار p-1)!+1 ) را عاد کنند، عدد اول ویلسون نامیده می‌شود. مثلا  عدد 5 عدد ویلسون است.  تنها اعداد شناخته شده 5  و 13و 563 است .)

●چرتکه چینی دارای  سیزده ستون مهره‌ برای محاسبات است.

●  13بزرگترین عدد اولی است که می تواند به دو عدد متوالی به صورت n^2+3 افراز می شود.(آیا می توانید اثبات کنید؟)

 ● 1+13- 13^13 عدد اول است.

 ● نخستین حفره‌ی اول با طول سیزده بین دو عدد    113و 127اتفاق می‌افتد. (منظور از حفره‌ی اول تعداد  اعداد مرکب بین دوعدد اول متوالی است.)  

 ● 13 کوچکترین عدد اول جایگشت‌پذیر (Permutable Number) است. ( این اعداد، اعداد اولی  حداقل با دو رقم مجزا هستند  که با تجدید آرایش در رقم هایشان همچنان عددی اول باقی می مانند مثلا برای عدد 337  ، 733 و 373 و 337 عدد اول است از دیگر اعداد از این قسم می‌توان به  13,17,37,79,113,119و جایگشتهای آن اشاره کرد.)

● هشت عدد اول دیگر می‌تواند به وسیله تغییر یک رقم از 13 تولید شود.{11, 17, 19, 23, 43, 53, 73, 83}

● نخستین بار پرچم امریکا 13 ستاره و 13 خط داشت که نشان دهنده تعداد مستعمرات اصلی این کشور بود.

● عدد 13 کوچکترین عددی است که ارقام آن در پایه چهار معکوس 13 است. ( 13 در پایه چهار 31 است.)

● رویه‌ی بیضوی روی اعداد گویا که دارای نقطه‌ی گویا از مرتبه‌ی 13 باشد موجود نیست.

● 2^13= 19+...+8+7

● عدد 2^13توسط مربعات مجزای اعداد 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 بیان می‌شود.

●طولانی ترین رکورد پرواز یک جوجه 13 ثانیه است .

یک مطلب از نظریه اعداد+یک سوال از نظریه اعداد

در این پست تصمیم دارم ابتدا یک قضیه به همراه اثبات آن را در اینجا قرار دهم و سپس یک سوال از حل معادلات و پس از آن جواب سوال قبل .امیدوارم که مفید واقع شود ! با تشکر از شما عزیزان    سهیل یزدانی

یک قضیه و اثبات آن  
فرض کنید p عددی اول و ثابت باشد و را عددی طبیعی در نظر بگیرید.بزرگترین عدد صحیح t که را با نشان می دهیم .می خواهیم ثابت کنیم که :

که در آن ، بزرگترین عدد صحیح نابیشتر از x می باشد که به آن جزء صحیح x گوییم.بدیهی است که تعداد جملات مخالف صفر در مجموع فوق متناهی است زیرا اگر  آنگاه
اثبات:
ابتدا ثابت میکنیم که اگر اعدادی طبیعی باشند آنگاه  زیرا فرض کنید :

در این صورت  ، از طرفی  و  
یعنی ، بنابراین  و در نتیجه  . از این رو حکم ثابت شد.
حال به اثبات رابطه داده شده می پردازیم .مضارب p که در حاصلضرب  ظاهر می شوند دقیقا عبارتند از:

بنابراین  عبارت است از تعداد دفعاتی که p به عنوان یک عامل در حاصلضرب این اعداد ظاهر می شود.پس داریم :

اگر در این رابطه  را به جای n قرار دهیم و از رابطه  استفاده کنیم خواهیم داشت:

در نتیجه

با ادامه این روند و با توجه به اینکه اگر آنگاه  ، خواهیم داشت:

و در اینجا حکم ثابت است.
حال برای درک بهتر مطلب یک مثال می آوریم :
مثال :بزرگترین توان ۳ در !۲۵۰ را بدست آورید.
حل :

 منتظر نظرات شما دوستان هستم.

سوال:
معادله  را در اعداد طبیعی حل کنید.

منتظر پاسخهای شما عزیزان هستم.

جواب سوال قبل

و اما جواب سوال از پست قبل...

حل: متغیر مختلط z را به صورت  تعریف می کنیم. حال معادلات را به فرم متعارف تر زیر می نویسیم:

معادله (2) را در عدد i ضرب کرده و با معادله (1) جمع می کنیم :

و یا معادلا

و یا

از طرفی می دانیم که  در نتیجه

بنابراین از (*) نتیجه می شود که

و یا

عبارت داخل پرانتز را برابر t تعریف می کنیم بنابراین

در نتیجه

بنابراین

از این رو دو دسته جواب زیر به دست می ایند :

و در اینجا حل مساله کامل است.

با نظرات خود ما را راهنمایی کنید .با تشکر

|+| نوشته شده در  چهارشنبه نهم اسفند 1385 ساعت 11:41  توسط سهیل یزدانی  |  11 نظر

---

یک سوال + یک جواب!!

سلام ، امیدوارم که همگی خوب و خوش و خرم و خوشحال باشید.
در این پست می خواهیم بدون مقدمه برویم سراغ سوال جدید و همچنین جواب سوال پست قبل .موفق باشید

سوال:

تمام های حقیقی را بیابید بطوریکه دستگاه زیر برقرار باشد:

منتظر جوابهای شما عزیزان هستم.با تشکر

واما جواب سوال از پست قبل :

 با توجه به مطلبی که از پست قبل بیان شد ، فرمول معروف و زیبای اویلر ()، چنین بیان می کنیم که:

از طرفی می دانیم :

در نتیجه

و در اینجا حل مساله کامل است.

نکته: لازم به توضیح می باشد که برای حل این مساله می توان از رابطه زیر نیز استفاده کرد

که در اینجا R شعاع دایره ای به مرکز مبدا می باشد و اگر آن را به بی نهایت میل دهیم

که از اینجا به بعد را می توان بنا بر رابطه فوق ادامه داد و به جواب رسید!!

دترمینان

ایده دترمینان برای اولین بار در سال 1683 ظاهر شد . سکی (Seke) در کتاب حل مسائل فریبنده خود

روش های ماتریسی را به عنوان جدول های اعداد مشابه سبک چینی معرفی کرده است.سکی با

بکارگیری دترمینان ها قادر بود  دترمینان ماتریس های با مرتبه های بالا را نیز محاسبه کند و

روش هایش را در حل دستگاه معادلات چند مجهولی بکار گیرد.

همچنین لیبنیز (Leibniz) به صورتی قابل توجه در نامه ای به هوپیتال توضیح داد که دستگاه معدلات

دارای جواب است اگر

منظور لیبنیز از اعداد بالا ضرایب عددی نبود .بلکه دو علامت بود که اولی بیانگر شماره معادله و

دومی بیانگر متغیری است که این علامت به آن تعلق دارد.به عنوان مثال در عصر حاضر ممکن است

 بجای 21 از نمادa₂₁  استفاده کنیم.مشاهده می کنیم که شرط فوق دقیقا همان شرط ناصفر بودن

 دترمینان ماتریس ضرایب را بیان می کند.

حال ممکن است این سوال پیش آید که دترمینان چیست و چگونه تعریف می شود.

در جواب می توان گفت D(A) یک تابع با خاصیت دترمینان است هرگاه چهار شرط زیر را داشته باشد:

اگر هر ستون ماتریس A را با a_i نشان دهیم داریم:

با بررسی خواص دترمینانی در توابع تنها یک تابع دترمینانی می توان یافت. این تابع اینگونه تعریف

می شود:

در این ضابطه jشماره ستون در ماتریس است و iیکی از سطرهای دلخواه است که دترمینان را روی

درایه های آن سطر محاسبه می کنیم.(برای سادگی محاسبه بهتر است سطری را انتخاب کنیم که

بیشترین تعداد صفر را داشته باشد.)

A_ij  نیز ماتریسی است که از حذف سطر iام و ستون jام از ماتریس A بدست می آید. این عمل را

آنقدر تکرار می کنیم تا A_ij یک ماتریس 2*2 شود . به این ترتیب می توان دترمینان ماتریس A  از هر

 مرتبه دلخواه را محاسبه کرد.

 

مثال: می خواهیم دترمینان ماتریس                      را حساب کنیم.

فرمول محاسبه را بر حسب سطر اول بکار می بریم:

همین طور اگر فرمول را بر حسب سطر دوم بسط دهیم جواب مشابه می یابیم:

به عنوان تمرین دترمینان این ماتریس را بر حسب سطر سوم پیدا کنید.