یک مطلب از نظریه اعداد+یک سوال از نظریه اعداد

در این پست تصمیم دارم ابتدا یک قضیه به همراه اثبات آن را در اینجا قرار دهم و سپس یک سوال از حل معادلات و پس از آن جواب سوال قبل .امیدوارم که مفید واقع شود ! با تشکر از شما عزیزان    سهیل یزدانی

یک قضیه و اثبات آن  
فرض کنید p عددی اول و ثابت باشد و را عددی طبیعی در نظر بگیرید.بزرگترین عدد صحیح t که را با نشان می دهیم .می خواهیم ثابت کنیم که :

که در آن ، بزرگترین عدد صحیح نابیشتر از x می باشد که به آن جزء صحیح x گوییم.بدیهی است که تعداد جملات مخالف صفر در مجموع فوق متناهی است زیرا اگر  آنگاه
اثبات:
ابتدا ثابت میکنیم که اگر اعدادی طبیعی باشند آنگاه  زیرا فرض کنید :

در این صورت  ، از طرفی  و  
یعنی ، بنابراین  و در نتیجه  . از این رو حکم ثابت شد.
حال به اثبات رابطه داده شده می پردازیم .مضارب p که در حاصلضرب  ظاهر می شوند دقیقا عبارتند از:

بنابراین  عبارت است از تعداد دفعاتی که p به عنوان یک عامل در حاصلضرب این اعداد ظاهر می شود.پس داریم :

اگر در این رابطه  را به جای n قرار دهیم و از رابطه  استفاده کنیم خواهیم داشت:

در نتیجه

با ادامه این روند و با توجه به اینکه اگر آنگاه  ، خواهیم داشت:

و در اینجا حکم ثابت است.
حال برای درک بهتر مطلب یک مثال می آوریم :
مثال :بزرگترین توان ۳ در !۲۵۰ را بدست آورید.
حل :

 منتظر نظرات شما دوستان هستم.

سوال:
معادله  را در اعداد طبیعی حل کنید.

منتظر پاسخهای شما عزیزان هستم.

جواب سوال قبل

و اما جواب سوال از پست قبل...

حل: متغیر مختلط z را به صورت  تعریف می کنیم. حال معادلات را به فرم متعارف تر زیر می نویسیم:

معادله (2) را در عدد i ضرب کرده و با معادله (1) جمع می کنیم :

و یا معادلا

و یا

از طرفی می دانیم که  در نتیجه

بنابراین از (*) نتیجه می شود که

و یا

عبارت داخل پرانتز را برابر t تعریف می کنیم بنابراین

در نتیجه

بنابراین

از این رو دو دسته جواب زیر به دست می ایند :

و در اینجا حل مساله کامل است.

با نظرات خود ما را راهنمایی کنید .با تشکر

|+| نوشته شده در  چهارشنبه نهم اسفند 1385 ساعت 11:41  توسط سهیل یزدانی  |  11 نظر

---

یک سوال + یک جواب!!

سلام ، امیدوارم که همگی خوب و خوش و خرم و خوشحال باشید.
در این پست می خواهیم بدون مقدمه برویم سراغ سوال جدید و همچنین جواب سوال پست قبل .موفق باشید

سوال:

تمام های حقیقی را بیابید بطوریکه دستگاه زیر برقرار باشد:

منتظر جوابهای شما عزیزان هستم.با تشکر

واما جواب سوال از پست قبل :

 با توجه به مطلبی که از پست قبل بیان شد ، فرمول معروف و زیبای اویلر ()، چنین بیان می کنیم که:

از طرفی می دانیم :

در نتیجه

و در اینجا حل مساله کامل است.

نکته: لازم به توضیح می باشد که برای حل این مساله می توان از رابطه زیر نیز استفاده کرد

که در اینجا R شعاع دایره ای به مرکز مبدا می باشد و اگر آن را به بی نهایت میل دهیم

که از اینجا به بعد را می توان بنا بر رابطه فوق ادامه داد و به جواب رسید!!

دترمینان

ایده دترمینان برای اولین بار در سال 1683 ظاهر شد . سکی (Seke) در کتاب حل مسائل فریبنده خود

روش های ماتریسی را به عنوان جدول های اعداد مشابه سبک چینی معرفی کرده است.سکی با

بکارگیری دترمینان ها قادر بود  دترمینان ماتریس های با مرتبه های بالا را نیز محاسبه کند و

روش هایش را در حل دستگاه معادلات چند مجهولی بکار گیرد.

همچنین لیبنیز (Leibniz) به صورتی قابل توجه در نامه ای به هوپیتال توضیح داد که دستگاه معدلات

دارای جواب است اگر

منظور لیبنیز از اعداد بالا ضرایب عددی نبود .بلکه دو علامت بود که اولی بیانگر شماره معادله و

دومی بیانگر متغیری است که این علامت به آن تعلق دارد.به عنوان مثال در عصر حاضر ممکن است

 بجای 21 از نمادa₂₁  استفاده کنیم.مشاهده می کنیم که شرط فوق دقیقا همان شرط ناصفر بودن

 دترمینان ماتریس ضرایب را بیان می کند.

حال ممکن است این سوال پیش آید که دترمینان چیست و چگونه تعریف می شود.

در جواب می توان گفت D(A) یک تابع با خاصیت دترمینان است هرگاه چهار شرط زیر را داشته باشد:

اگر هر ستون ماتریس A را با a_i نشان دهیم داریم:

با بررسی خواص دترمینانی در توابع تنها یک تابع دترمینانی می توان یافت. این تابع اینگونه تعریف

می شود:

در این ضابطه jشماره ستون در ماتریس است و iیکی از سطرهای دلخواه است که دترمینان را روی

درایه های آن سطر محاسبه می کنیم.(برای سادگی محاسبه بهتر است سطری را انتخاب کنیم که

بیشترین تعداد صفر را داشته باشد.)

A_ij  نیز ماتریسی است که از حذف سطر iام و ستون jام از ماتریس A بدست می آید. این عمل را

آنقدر تکرار می کنیم تا A_ij یک ماتریس 2*2 شود . به این ترتیب می توان دترمینان ماتریس A  از هر

 مرتبه دلخواه را محاسبه کرد.

 

مثال: می خواهیم دترمینان ماتریس                      را حساب کنیم.

فرمول محاسبه را بر حسب سطر اول بکار می بریم:

همین طور اگر فرمول را بر حسب سطر دوم بسط دهیم جواب مشابه می یابیم:

به عنوان تمرین دترمینان این ماتریس را بر حسب سطر سوم پیدا کنید.

نشنال جئوگرافیک منتشر کرد : بهترین عکس‌های علمی سال 2007

 

نشنال جئوگرافیک بهترین عکس‌های علمی سال 2007 را معرفی کرده است. فکر می‌کنم کمتر کسی بتواند صرفا با دیدن عکس‌ها بفهمد ، عکس‌ها دقیقا از چه چیزی گرفته شده‌اند.

 

عکس بالا یک عکس جالب از یک جلب دریایی است که نشان می‌دهد چگونه ساده‌ترین ارگانیسم‌ها می‌توانند ، پیچیدگی جالب توجه داشته باشند.
عکس بالا یک خزه ایرلندی با نام علمی Chondrus crispus است که یک خزه معمولی قرمز در اقیانوس اطلس محسوب می‌شود. از این خزه‌ها موادی استحصال می‌شود که برای غنی کردن مواد غذایی مورد استفاده قرار می‌گیرد.

عکاس این عکس آندره‌آ اتسن Andrea Ottesen از دپارتمان گیاه‌شناسی و مهندسی کشاورزی دانشگاه مریلند است و موفق شده با این عکس که برای گرفتن آن تنها از نور طبیعی استفاده کرده است ، جایزه اول عکاسی علمی و تصویربرداری مهندسی سال 2007 را ببرد. این جایزه هر ساله از سوی بنیاد ملی علوم و مجله Science  به عکسی داده می‌شود که مفاهیم و اطلاعات علمی پیچیده را توضیح دهد. امسال پنجمین سالی است که جایزه عکس‌های علمی برتر داده می‌شود.

 

در نگاه اول عکس بالا مثل یک حشره عجیب به نظر می‌رسد ، ولی این عکس در واقع سی‌تی اسکنی است که ساختمان‌های حساس داخال بینی انسان را نشان می‌دهد. در این عکس شما می‌توانید سینوس‌های کنار بینی را ببینید. سینوس‌ها ، حفراتی پر از هوا در استخوان جمجمه هستند ، همین سینوس‌ها هستند که در مبتلایان به سینوزیت مایه درد و رنج می‌شوند. این عکس از یک خانم 33 ساله چینی مبتلا به بیماری تیروئید گرفته شده است. عکاس این عکس «کای هونگ فو» نام دارد و عکس را در یکی از بیمارستان‌های هونگ کونگ گرفته است.

 

اما ، عکس بالا را یک فارغ‌التحصیل رشته مهندسی و یک شیمی‌دان دانشگاه هاروارد گرفته‌اند ، آنها لحیم گداخته را وارد مدارهای ظریف سیلیکونی کرده‌اند ، بعد از سرد شدن لحیم ، سیم انعطاف‌پذیری ایجاد شده که می‌تواند به آسانی تا شود و گره بخورد و در عین حال الکتریسیسته را انتقال دهد.

 

عکس بالا از یک انیمیشن سه‌بعدی گرفته شده است و نشان می‌دهد که چگونه نیکوتین پایانه‌های عصبی را تحریک می‌کند تا ایمپالس‌های عصبی را به مرکز لذت مغز بفرستند.

 

آخرین عکس هم تغییر شکل «موبیوس» را نشان می‌دهد و به وسیله دو محقق دانشگاه مینسوتا گرفته شده است. فهم ریاضیات و هندسه می‌تواند با تجسم عینی مفاهیم ، آسان‌تر شود.